会社が倒産して失業保険が出る予定ですが、次の会社が直ぐ見つかったとします。受給期間中のアルバイトに関してはハローワークごと（自治体ごと）に多少の違いがあります。以前勤めていた職場から4時間×２日ぐらい仕事をして欲しいと言われました。

私は失業保険受給資格はありますか？
2008年４月～2010年５月までＡ社に就職をしていました。（５月に辞める予定
失業保険の受給資格はどのようなものなのでしょうか？

また、会社を辞めてからアルバイトをしながら失業保険を貰いたいのですが
（自己都合退職なので受給は３ヶ月後からです。）
アルバイト出来る日数など決まっているのでしょうか？詳しく教えて下さい＞＜。
月稼いでいい額などもあるのでしょうか？

宜しくお願い致します。

受給資格はあります。
1年以上の雇用保険被保険者期間があれば雇用保険の受給は出来ます。
受給は3ヶ月後と書かれていますが、実際は離職後4ヶ月以上かかりますよ。
まずは、離職票がいつ会社からもらえるかです、一般的には離職後1週間～2週間程度かかるのが普通です。
離職票が出てからハローワークで申請をしますが、申請日から7日間は待機期間で自己都合退職の場合はそこへ3ヶ月の給付制限期間が付きます。
給付制限が解除されてから1週～4週後に認定日が設定されています、認定日に所定の失業認定申告書と雇用保険受給資格者証を提出し認定されれば、認定日から5営業日以内に指定口座に基本手当が振込されます。
なので3ヶ月後ではありません。

受給期間中のアルバイトに関してはハローワークごと（自治体ごと）に多少の違いがあります。
一般的には1日4時間以下、月に11日以下と言う事が基準として書かれている事がありますが、実際には基準はハローワークごとの内規的なもので、ハローワークによって違いがあるのが現実です、詳しくは貴方の住居地管轄のハローワークで尋ねてみることです。

会社が倒産して失業保険が出る予定ですが、次の会社が直ぐ見つかったとします。
失業保険を全く貰わないで、次の会社に勤め始めるのは勿体無いでしょうか？
試用期間の間はアルバイトになります。

倒産して失業給付を受ける場合は、一週間と一ヵ月後に支給開始されます。会社から離職票を受け取ったら、先ず求職申し込みと失業給付の申告をハローワークにして下さい。

一週間の待機期間を過ぎた後に就職が決まると、再就職手当の支給を受ける事が出来ます。これは貴方が受けられた筈
（失業給付を受け終わっても仕事が見つからない場合）の金額のほぼ半分の金額になります。云ってみれば再就職のお祝い金です。

失業給付を貰わないで、次の会社に勤めるのが勿体無いかどうか？と云う質問の答としては、失業給付なんか受けないで新しい仕事が見つかるほど良い事はないと言う事になると思います。雇用保険はあくまでも最悪の事に対する備えです。生命保険に入っていて死んで貰えても本人は嬉しくも何とも有りません。車の保険でもそうです。事故をやってお金が入ってきても儲かることは有りません。それ以外にお金が掛かりますし、怪我をすれば痛い思いをしたり、場合によっては身障者になってしまいます。あくまでも最悪の事に備えているのですから、最悪の事は小さいに越した事は有りません。

失業保険受給中です。以前勤めていた職場から4時間×２日ぐらい仕事をして欲しいと言われました。（引継ぎが完璧ではなかったようでわからないことがあったみたいで・・・）失業保険をもらってると
働いたら処罰があるのではないでしょうか？働くと失業保険の金額が減るのですか？詳しい方がいましたらお教えください。

失業保険受給中は週２０時間以下で１日４時間以下の場合でバイト日額が基本手当日額の８０％を超える場合、超える部分引かれます。認定日にはキチンと申告してください。
ただし、週２０時間以下で１日４時間を超える場合はそのバイトをやった日の基本手当は支給されずに後に繰越になります。
最終的には全額もらえます。

約２年勤めた会社を（自己都合で）退社するのですが
その後にバイトをした場合に、３ヶ月後に失業保険は適用されるでしょうか？
適用されない場合、何か裏技的なものはあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

　今、この裏技が適用されるかどうかはわかりませんが、短期のアルバイトなどでしたら、一時的に失業給付の受給を停止し、再度退職後に残りの日数の失業給付を貰う（延長させる）方法もあると思います。ただしいずれも退職後１年以内です。短期のアルバイトでも、条件を満たせば雇用保険にも入れますし。ただ、もしかしたら、給付停止期間があるかもしれませんが…。

失業保険がすぐに給付される、正当な理由による退職、に私のケース（下記）は当てはまるでしょうか？
また、どういう書類を用意すれば認定されやすいでしょうか？
１．妻が膝靭帯の再建手術をし1カ月の入院後退院、幹部側の足に体重をかけられないため日常生活で介護が必要。
２．前回復までは1年ほど必要なものの、介護を必要とする期間は約2カ月。
３．私は会社都合で東京に単身赴任、妻は自営業をしており大阪の自宅に残る。
４．妻は自宅近くの大阪の病院に今年2月からかかっており、状態を良く分かってくれている医師・病院に最後まで見てもらいたい。
５．妻側の姻族に介護ができる者がいない。（両親は他界、一人っ子）
６．私の両親は電車で2時間ぐらいのところに住んでいるが、24時間介護をするほど仲良くないし、62歳なので無理をさせたくない。
７．妻の仕事は簡単な打合せが必要なものの、概ね在宅でこなせる。（こなせないものはすでに処分した。）

このケースだと、失業保険（雇用保険）の特定理由離職者の該当者の内下記2項目を合わせたものに当てはまるのではないかと思うのですがいかが思われますか？
また、認定してもらうにはどのような書類があればよいでしょうか。
(3) 父若しくは母の死亡、疾病、負傷等のため、父若しくは母を扶養するために離職を余儀なくされた場合又は常時本人の介護を必要とする親族の疾病、負傷等のために離職を余儀なくされた場合のように、家庭の事情が急変したことにより離職した場合
(4) 配偶者又は扶養すべき親族と別居生活を続けることが困難となったことにより離職した場合

雇用保険が早期に給付される場合は会社都合となっています。あなたが上げた理由はあなたの家庭の都合のようですね。
ですから早期には受給できませんね。3ヵ月かかります。会社が会社都合と認めてくれればいいんです。
例えば業務縮小により人員整理で退職してもらったなど。
私は過去に会社を退職する時に会社に頼んでそうしてもらったことがあります。そのときは退職届もそのように書きました。